La teoria dei giochi è un ramo della matematica applicata che si occupa di modellizzare situazioni in cui gli agenti interagiscono tra loro, cercando di massimizzare i propri benefici attraverso scelte strategiche. Il concetto di "Equilibrio di Nash," proposto dal matematico John Forbes Nash nel 1950, rappresenta una delle idee centrali di questa disciplina.
Un equilibrio di Nash è una situazione in cui ogni giocatore ha scelto una strategia tale che nessun giocatore può ottenere un guadagno unilaterale cambiando la propria strategia, a condizione che gli altri giocatori mantengano invariata la loro strategia.
In altre parole, è una configurazione delle scelte strategiche in cui nessun giocatore ha un incentivo a deviare dalla sua strategia corrente, dato che le strategie degli altri giocatori sono fissate.
La teoria dei giochi di Nash ha avuto un impatto significativo in diverse discipline, dalla matematica alla scienza politica, passando per l'economia, la biologia e persino la filosofia.
Per esempio, in economia, gli equilibri di Nash sono utilizzati per analizzare mercati, aste, negoziazioni e formazione di cartelli. In biologia, sono utilizzati per studiare l'evoluzione delle strategie all'interno delle popolazioni.
In scienza politica, servono per modellizzare le interazioni tra stati sovrani o tra attori all'interno di un sistema politico.
Nash dimostrò che ogni gioco con un numero finito di giocatori e un insieme finito di strategie possiede almeno un equilibrio di Nash, sotto opportune condizioni. Questo risultato è noto come il "Teorema dell'Esistenza dell'Equilibrio di Nash" e ha ottenuto un riconoscimento notevole per la sua importanza e applicabilità.
Esistono diversi tipi di equilibri di Nash:
Equilibrio puro: In questo caso, ogni giocatore sceglie una singola strategia che massimizza il proprio guadagno, dati i comportamenti degli altri giocatori.
Equilibrio misto: Qui, i giocatori possono randomizzare tra diverse strategie. In altre parole, invece di scegliere una singola strategia, un giocatore sceglie una distribuzione di probabilità su un insieme di strategie.
Equilibrio di Nash in strategie dominanti: In questo caso, esiste una strategia che è la migliore rispetto a tutte le altre, indipendentemente dalle scelte fatte dagli altri giocatori.
Equilibrio di Nash in strategie dominate: Questo tipo di equilibrio si verifica quando ogni giocatore sceglie la migliore tra le strategie che sono rimaste dopo aver eliminato le strategie strettamente dominate.
Facciamo un esempio per chiarire il concetto in maniera pratica:
Immagina una partita di calcio tra due squadre: Squadra A e Squadra B. Ogni squadra sta cercando di vincere, ovviamente, e per farlo, utilizza una certa strategia.
Questa strategia può includere varie cose, come la formazione che scelgono di usare, quando attaccare, quando difendere, ecc.
Un equilibrio di Nash in una partita di calcio sarebbe una situazione in cui nessuna delle due squadre potrebbe migliorare la sua probabilità di vincere cambiando solo la sua strategia, a meno che l'altra squadra non cambi anche la sua.
Ecco un esempio semplice per spiegare questo concetto. Supponiamo che la Squadra A sia molto forte nell'attacco ma debole nella difesa, mentre la Squadra B sia l'opposto: forte in difesa ma debole in attacco.
La Squadra A potrebbe decidere di concentrarsi sull'attacco, cercando di sfruttare la sua forza in quella zona.
La Squadra B, conoscendo i propri punti di forza e di debolezza, potrebbe decidere di adottare una strategia difensiva, cercando di bloccare gli attacchi della Squadra A e magari cercando di segnare con un contropiede.
In questo scenario, nessuna delle due squadre avrebbe un incentivo a cambiare la sua strategia se l'altra squadra mantiene la sua. Se la Squadra A iniziasse a difendere, non gioverebbe ai suoi punti di forza. Se la Squadra B iniziasse ad attaccare in modo aggressivo, diventerebbe vulnerabile agli attacchi della Squadra A.
Questo è un tipo di "equilibrio di Nash": una situazione in cui entrambe le squadre hanno scelto la miglior strategia possibile date le strategie dell'altra squadra.
Ogni squadra sta facendo il meglio che può, considerando ciò che sta facendo l'altro.
Ora, il calcio è un gioco molto complesso e dinamico, e le cose cambiano rapidamente. In una partita reale, le squadre stanno costantemente aggiornando e adattando le loro strategie. Tuttavia, l'idea dell'equilibrio di Nash è utile per capire che ci sono momenti in cui le squadre potrebbero non avere alcun incentivo a cambiare la loro attuale strategia, perché ogni cambio potrebbe effettivamente peggiorare la loro situazione.
Questo concetto può aiutare non solo a comprendere il calcio, ma anche altre situazioni nella vita in cui le persone o i gruppi interagiscono tra loro cercando di ottenere il miglior risultato possibile.
Gli equilibri di Nash possono essere anche classificati in base a diversi criteri come simmetria, efficienza e stabilità dinamica.
Inoltre, concetti correlati come "equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi" e "equilibrio Bayesiano" hanno esteso e arricchito la teoria dei giochi di Nash, permettendo un'analisi più dettagliata di giochi dinamici e giochi con informazione incompleta.
John Nash ha ricevuto il Premio Nobel in Economia nel 1994 per i suoi contributi alla teoria dei giochi.
La sua opera ha influenzato non solo la teoria dei giochi stessa, ma anche molti altri campi che applicano questa teoria per modellare e risolvere problemi complessi di interazione strategica tra agenti razionali.
