Cosa è il Teorema di Bayes?
Il Teorema di Bayes, proposto da Thomas Bayes nel XVIII secolo, è un principio fondamentale della teoria delle probabilità e offre un metodo per aggiornare le probabilità a posteriori basate su nuovi dati.
Questo teorema collega la probabilità condizionale e marginale di due eventi casuali.
Nel suo contesto più semplice, il teorema di Bayes fornisce uno strumento per aggiornare le nostre credenze o ipotesi iniziali sulla base di nuove evidenze.
Se abbiamo una credenza iniziale (conosciuta come probabilità a priori) su un evento, e riceviamo nuovi dati, il teorema di Bayes ci fornisce un modo sistematico per aggiornare la nostra credenza originale alla luce dei nuovi dati (calcolando la probabilità a posteriori).
Dove si applica il teorema di Bayes?
Nel mondo reale, il teorema di Bayes viene utilizzato in molteplici campi, dalla medicina, dove può aiutare a interpretare i risultati dei test diagnostici, alla scienza delle decisioni, dove può aiutare a prendere decisioni basate su dati incerti, fino all'intelligenza artificiale, dove è fondamentale nei sistemi di apprendimento automatico per affinare i modelli basati sui dati di addestramento.
Il teorema di Bayes fornisce un framework per capire come le nostre credenze dovrebbero cambiare in base alle nuove informazioni ricevute.
La scuola bayesiana e la scuola frequentista per il calcolo delle quote
Vi sono due principali interpretazioni di questo teorema, che danno origine a due distinte scuole di pensiero in statistica: la scuola bayesiana e la scuola frequentista.
La statistica bayesiana considera la probabilità come una misura della credibilità o della fiducia. In altre parole, una probabilità è un giudizio soggettivo che esprime la nostra incertezza o fiducia su un determinato evento. Nel contesto di una partita di calcio, un bookmaker potrebbe iniziare la sua valutazione della quota con una probabilità a priori sul risultato di una partita di calcio, basata sulle prestazioni passate delle squadre, e poi aggiornare le quote alla luce delle nuove informazioni, come infortuni, condizioni meteo, o altre notizie rilevanti.
Ad esempio, se il Milan e l'Inter dovessero giocare e, sulla base delle loro prestazioni passate, il bookmaker stimasse una probabilità a priori del 40% che il Milan vinca, e poi apprendesse che il miglior giocatore del Milan è infortunato, potrebbe usare il teorema di Bayes per aggiornare la sua stima della probabilità di vittoria del Milan, riducendola, ad esempio, al 30%.
Al contrario, la statistica frequentista interpreta la probabilità come una frequenza a lungo termine di eventi. In questo approccio, la probabilità di un evento è definita come il limite della sua frequenza relativa in una serie di prove indipendenti che vanno all'infinito.
Un bookmaker, quindi, baserebbe le sue quote sulle frequenze osservate degli eventi passati.
Ad esempio, se in passato l'Inter ha vinto il 60% delle volte contro il Milan, il bookmaker frequentista potrebbe fissare la probabilità di una vittoria dell'Inter nel prossimo match al 60%.
In termini di analisi dei dati calcistici, entrambi gli approcci hanno il loro valore e vanno considerati caso per caso.
In generale, l'approccio migliore dipenderà dal contesto specifico e dalla natura dei dati disponibili. Molte moderne tecniche di analisi dei dati, inoltre, combinano aspetti di entrambi gli approcci in un quadro ibrido.
La storia della Teoria di Bayes
La storia del teorema di Bayes è affascinante e riflette la complessa evoluzione della matematica e della statistica nel tempo.
Bayes non ha mai pubblicato il suo lavoro sulla teoria durante la sua vita.
Dopo la morte di Bayes nel 1761, il suo amico Richard Price trovò il suo lavoro inedito e lo pubblicò postumo nel 1763 nell'articolo "Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances". Price riconobbe il significato del teorema di Bayes, sebbene esso non fosse ancora pienamente apprezzato all'epoca.
Il matematico francese Pierre Simon Laplace formulò indipendentemente il teorema nel 1774, senza essere a conoscenza del lavoro di Bayes. Laplace utilizzò il teorema nel suo lavoro sulla teoria della probabilità e contribuì a stabilire la sua importanza.
Una ricerca condotta dal professore di statistica Stephen Stigler nel 1982 suggerisce che il teorema di Bayes potrebbe essere stato scoperto da Nicholas Saunderson, un matematico inglese del XVIII secolo, prima di Bayes.
Queste storie evidenziano come le idee matematiche possono svilupparsi e evolvere nel tempo, e come la scoperta e l'attribuzione di teoremi possono essere complesse e interconnesse.
Il teorema di Bayes, indipendentemente da chi lo abbia scoperto per primo, rimane una pietra miliare fondamentale nel campo della statistica e della teoria delle probabilità.
